Equação do Segundo Grau — Fórmula de Bhaskara, Raízes e Vértice
Uma equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Suas soluções vêm da fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. A expressão dentro da raiz, Δ = b² − 4ac, é o discriminante (delta), e determina a natureza das raízes antes de resolver qualquer coisa: duas raízes reais distintas se Δ > 0, uma raiz real dupla se Δ = 0 e duas raízes complexas conjugadas se Δ < 0. Informe os coeficientes a, b e c para obter o delta, as raízes (reais ou complexas) e a resolução completa passo a passo.
Além das raízes, a calculadora informa o vértice da parábola y = ax² + bx + c, localizado em x = −b ÷ 2a e y = −Δ ÷ 4a, que é o ponto de mínimo quando a > 0 e de máximo quando a < 0. O gráfico traçado mostra onde a parábola cruza o eixo x — exatamente nas raízes reais — tornando visível a ligação entre álgebra e geometria. É o mesmo raciocínio usado na física para lançamento de projéteis e na economia para maximização de lucro.
Como funciona
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, com discriminante Δ = b² − 4ac. Vértice: xᵥ = −b ÷ 2a, yᵥ = −Δ ÷ 4a. Soma das raízes: x₁ + x₂ = −b ÷ a; produto: x₁ × x₂ = c ÷ a (relações de Girard).
Casos de uso
- Resolver exercícios de álgebra com uma resolução passo a passo verificável
- Verificar pelo delta se a equação tem raízes reais ou complexas
- Encontrar o vértice para determinar o máximo ou o mínimo de uma função quadrática
- Calcular quando um projétil atinge o solo em problemas de física
- Fatorar um trinômio do segundo grau encontrando primeiro suas raízes
- Visualizar como mudar a, b e c altera o formato da parábola
Perguntas frequentes
Como resolver uma equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara?
Identifique os coeficientes a, b e c em ax² + bx + c = 0, calcule o discriminante Δ = b² − 4ac e aplique x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Para x² − 5x + 6 = 0: Δ = 25 − 24 = 1, então x = (5 ± 1) ÷ 2, resultando em x₁ = 3 e x₂ = 2. O sinal ± produz as duas raízes.
O que o delta (discriminante) diz sobre as raízes?
O discriminante Δ = b² − 4ac classifica as soluções sem resolver a equação. Se Δ > 0, há duas raízes reais distintas e a parábola cruza o eixo x duas vezes; se Δ = 0, há uma raiz real dupla e a parábola tangencia o eixo no vértice; se Δ < 0, não há raízes reais — as soluções são duas complexas conjugadas e a parábola nunca toca o eixo x.
O que acontece quando o delta é negativo?
A equação não tem soluções reais, mas ainda tem duas raízes complexas da forma x = (−b ± i√|Δ|) ÷ 2a, onde i é a unidade imaginária. Por exemplo, x² + 2x + 5 = 0 tem Δ = 4 − 20 = −16, resultando em x = −1 ± 2i. Graficamente, a parábola fica inteiramente acima ou abaixo do eixo x.
Como encontrar o vértice da parábola a partir da equação?
O vértice de y = ax² + bx + c fica em xᵥ = −b ÷ 2a e yᵥ = −Δ ÷ 4a (ou substitua xᵥ de volta na função). Quando a > 0, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto de mínimo; quando a < 0, abre para baixo e o vértice é o máximo. É esse ponto que os problemas de otimização pedem, como o preço que maximiza a receita.
Dá para resolver uma equação do segundo grau sem Bhaskara?
Muitas vezes, sim. Se o trinômio fatora bem, procure dois números cuja soma seja −b/a e cujo produto seja c/a (relações de Girard, também chamadas de soma e produto) — para x² − 5x + 6, são 2 e 3. Completar quadrados também funciona e é justamente de onde a fórmula de Bhaskara é deduzida. Equações incompletas são ainda mais simples: ax² + bx = 0 fatora como x(ax + b) = 0, e ax² + c = 0 se resolve isolando x².