Ecuación de Segundo Grado — Fórmula General, Raíces y Vértice
Una ecuación de segundo grado (ecuación cuadrática) tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Sus soluciones provienen de la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. La expresión dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, es el discriminante, y determina la naturaleza de las raíces antes de resolver nada: dos raíces reales distintas si Δ > 0, una raíz real doble si Δ = 0 y dos raíces complejas conjugadas si Δ < 0. Ingresa los coeficientes a, b y c para obtener el discriminante, las raíces (reales o complejas) y la resolución completa paso a paso.
Además de las raíces, la calculadora indica el vértice de la parábola y = ax² + bx + c, ubicado en x = −b ÷ 2a e y = −Δ ÷ 4a, que es el punto mínimo cuando a > 0 y el máximo cuando a < 0. La gráfica trazada muestra dónde la parábola cruza el eje x — exactamente en las raíces reales — haciendo visible la conexión entre álgebra y geometría. Es el mismo razonamiento que se usa en física para el movimiento de proyectiles y en economía para maximizar ganancias.
Como funciona
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, con discriminante Δ = b² − 4ac. Vértice: xᵥ = −b ÷ 2a, yᵥ = −Δ ÷ 4a. Suma de las raíces: x₁ + x₂ = −b ÷ a; producto: x₁ × x₂ = c ÷ a (fórmulas de Vieta).
Casos de uso
- Resolver tareas de álgebra con una resolución paso a paso verificable
- Verificar con el discriminante si la ecuación tiene raíces reales o complejas
- Encontrar el vértice para determinar el máximo o el mínimo de una función cuadrática
- Calcular cuándo un proyectil llega al suelo en problemas de física
- Factorizar un trinomio de segundo grado encontrando primero sus raíces
- Visualizar cómo cambiar a, b y c modifica la forma de la parábola
Preguntas frecuentes
¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado con la fórmula general?
Identifica los coeficientes a, b y c en ax² + bx + c = 0, calcula el discriminante Δ = b² − 4ac y aplica x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Para x² − 5x + 6 = 0: Δ = 25 − 24 = 1, así que x = (5 ± 1) ÷ 2, dando x₁ = 3 y x₂ = 2. El signo ± produce las dos raíces.
¿Qué indica el discriminante sobre las raíces?
El discriminante Δ = b² − 4ac clasifica las soluciones sin resolver la ecuación. Si Δ > 0, hay dos raíces reales distintas y la parábola cruza el eje x dos veces; si Δ = 0, hay una raíz real doble y la parábola toca el eje en su vértice; si Δ < 0, no hay raíces reales — las soluciones son dos complejas conjugadas y la parábola nunca toca el eje x.
¿Qué pasa cuando el discriminante es negativo?
La ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene dos raíces complejas de la forma x = (−b ± i√|Δ|) ÷ 2a, donde i es la unidad imaginaria. Por ejemplo, x² + 2x + 5 = 0 tiene Δ = 4 − 20 = −16, dando x = −1 ± 2i. Gráficamente, la parábola queda por completo arriba o abajo del eje x.
¿Cómo encontrar el vértice de la parábola a partir de la ecuación?
El vértice de y = ax² + bx + c está en xᵥ = −b ÷ 2a e yᵥ = −Δ ÷ 4a (o sustituye xᵥ de vuelta en la función). Cuando a > 0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto mínimo; cuando a < 0, abre hacia abajo y el vértice es el máximo. Ese punto es el que piden los problemas de optimización, como el precio que maximiza los ingresos.
¿Se puede resolver una ecuación cuadrática sin la fórmula general?
Muchas veces, sí. Si el trinomio se factoriza bien, busca dos números cuya suma sea −b/a y cuyo producto sea c/a (fórmulas de Vieta) — para x² − 5x + 6, son 2 y 3. Completar el cuadrado también funciona y es precisamente de donde se deduce la fórmula general. Las ecuaciones incompletas son aún más simples: ax² + bx = 0 se factoriza como x(ax + b) = 0, y ax² + c = 0 se resuelve despejando x².